Question

17．如图，正方形ABCD边长为3，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转30°，得到正方形A′BC′D′，则图中阴影部分的面积是 $\frac{3}{4}π$．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质求出BD，再根据旋转得到∠ABA′=∠DBD′=30°，判断出S_阴影=S_扇形DBD′-S_扇形ABA′即可．

解答 解：如图，

连接BD′，BD，
∵正方形ABCD边长为3，
∴BD=3$\sqrt{2}$，
∵正方形ABCD绕点B顺时针旋转30°，得到正方形A′BC′D′，
∴∠ABA′=∠DBD′=30°，
∴S_扇形DBD′=$\frac{30°×π×B{D}^{2}}{360°}$=$\frac{30°×π×（3\sqrt{2}）^{2}}{360°}$=$\frac{3π}{2}$，
S_扇形ABA′=$\frac{30°×π×A{B}^{2}}{360°}$=$\frac{30°×π×9}{360°}$=$\frac{3π}{4}$，
S_阴影=S_扇形DBD′+S_△ABD-S_△A′BD′-S_扇形ABA′=S_扇形DBD′-S_扇形ABA′=$\frac{3π}{2}$-$\frac{3π}{4}$=$\frac{3}{4}π$．

点评 此题是旋转的性质，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，扇形的面积的计算，分析出阴影部分的面积是两个扇形面积的差是解本题的关键也是难点．