题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=-
．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是3个，请直接写出a的值．
【答案】（1）①D的坐标是（3，1），
；②存在点P（
）或（
），使得∠POB与∠BCD互余；（2）a的值为
．
【解析】
（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=-
，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，-x2+
x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是3个，根据tan∠QOB=tan∠BAO=
=
，得到直线OQ的解析式为y=-x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有一个交点，所以方程ax2-4ax+3a+1=-x有两个相等的实数根，所以△=（-4a+）2-4a（3a+1）=0，即4a2-8a+
=0，解得
．
（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
∴△AOB≌△BFD
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得
∴
∴该抛物线的解析式为：
②如图2，∵点A（0，2），B（1，0），
点C为线段AB的中点，
∴
，
又∵
，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，
则必须∠POB=∠BAO，
设P的坐标为
，
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则
即
，
∴
，
解得
（舍去），
，
∴
，
∴P点的坐标为（）；
（Ⅱ））当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则
即
∴
，
解得（舍去），
，
∴
，
∴P点的坐标为（）；
综上，在抛物线上是否存在点P（）或（），使得∠POB与∠BCD互余．
（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得
，解得
，
所以y=ax2-4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数不可能是3个
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c必有两个交点，符合条件的点Q必定有2个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c只有1个交点，才能使符合条件的点Q共3个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的解析式为y=-x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有一个交点，所以方程ax2-4ax+3a+1=-x有两个相等的实数根，所以△=（-4a+）2-4a（3a+1）=0，即4a2-8a+=0，解得
，
∵抛物线的顶点在x轴下方
∴
＜0，
∴a＞1，
∴
舍去
综上所述，a的值为．
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