题目内容
【题目】如图，在正方形
中，
是对角线
上的一个动点
，连接
，过点
作
交
于点
．
（1）如图①，求证：
；
（2）如图②，连接
为
的中点，
的延长线交边
于点
，当
时，求和
的长；
（3）如图③，过点作
于
，当
时，求
的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
；
；（3）面积为
.
【解析】
（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD=∠DBC=45°，由角平分线的性质得出MF=MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG=90°，证出∠AMF=∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出
，求出AN=2
，由勾股定理得出BN=
=4，由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=
AN=，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出
，求出OP=
，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF=MH，求出AF=BD=×6
=3，得出MH=3，MN=2
，由勾股定理得出HN=
，由三角形面积公式即可得出结果．
（1）证明：过点
作
于
，作
于
，如图①所示：
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
在
和
中， 
，
；
（2）解：在
中，由（1）知：
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
解得：，
在
中，
，
在中，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，即： 
，
解得：
，
；
（3）解：过点
作
于，如图③所示：
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
在等腰直角
中，
，
，
，
，
，
的面积为．
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