Question

9．已知△ABC，D、E分别为AC、AB中点，BD和CE交于点O，BD和CE是一元二次方程x²-kx+24=0的两个不等实根，则△BOE面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由已知条件得出O为△ABC的重心，由重心定理得出OE=$\frac{1}{3}$CE，OB=$\frac{2}{3}$BD，由根与系数的关系得出BD•CE=24，若△BOE面积最大，则△BOE是直角三角形，分两种情况讨论，即可得出结果．

解答 解：∵D、E分别为AC、AB中点，BD和CE交于点O，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DOE∽△BOC，
∴OD：OB=OE：OC=DE：BC=1：2，
∴OE=$\frac{1}{3}$CE，OB=$\frac{2}{3}$BD，
∵BD和CE是一元二次方程x²-kx+24=0的两个不等实根，
∴BD•CE=24，
若△BOE面积最大，则△BOE是直角三角形，
分两种情况：
①若∠BEO=90°，则CE⊥AB，
∵E是AB的中点，
∴AC=BC，
同理：AB=BC，
则△ABC是等边三角形，
∴BD=CE，不合题意；
②当∠BOE=90°时，△BOE的面积=$\frac{1}{2}$OE•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$CE×$\frac{2}{3}$BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×24=$\frac{8}{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、根与系数的关系、等边三角形的判定等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．