Question

18．已知x-y=2+a，y-z=2-a，且a²=7，试求x²+y²+z²-xy-yz-zx的值．

Answer 1

分析 利用等式x-y=2+a，y-z=2-a得x-z=4，而x²+y²+z²-xy-yz-zx=$\frac{1}{2}$（2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx）═$\frac{1}{2}$[（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²]，然后代值求解即可．

解答 解：∵x-y=2+a…①，y-z=2-a…②
∴①+②得：x-z=4
∴当a²=7，
原式=$\frac{1}{2}$（2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx）
=$\frac{1}{2}$[（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²]
=$\frac{1}{2}$[4+4a+a²4-4a+a²+16]
=$\frac{1}{2}$×38
=19

点评 本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是将x²+y²+z²-xy-yz-zx转化为$\frac{1}{2}$[（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²]的形式．