Question

3．如图，已知矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB=6，BC=4$\sqrt{6}$，则下列说法中正确的个数有（　　）
①△DEF≌△GEF；②GF：GB=3：2；③S_△BEF=10$\sqrt{6}$；④S_△BCF：S_△DFE=1：1．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用翻折不变性，根据HL可以证明Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），推出DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，在Rt△BCF中，根据勾股定理可得（4 $\sqrt{6}$）²+（6-x）²=（6+x）²，求出x即可一一判断．

解答 解：解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EG}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），故①正确，
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，（4 $\sqrt{6}$）²+（6-x）²=（6+x）²，
解得x=4，
∴GF：GB=4：6=2：3，故②错误，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•BF•EG=$\frac{1}{2}$×10×2$\sqrt{6}$=10$\sqrt{6}$．故③正确，
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×4=4$\sqrt{6}$，S_△CBF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{6}$×2=4$\sqrt{6}$，
∴S_△BCF：S_△DFE=1：1．故④正确．
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键，本题的突破点是设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，在Rt△BCF中根据勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．