Question

11．如图1，以平行四边形ABCD的边AD、BC为边分别向外作等边三角形ADE和BCF．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如图2，如果再以AB、CD为边分别向外作等边三角形ABG和CDH，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形EGFH为菱形，则四边形ABCD还需要满足什么条件？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定方法：两组对边相等的四边形是平行四边形即可证明四边形DEBF是平行四边形．
（2）同理可证四边形AGCH是平行四边形，只要证明EF与GH互相平分即可．
（3）当四边形ABCD是矩形时，四边形EGFH是菱形，只要证明△EDH≌△FCH即可判断．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠DCB，
∵以AD、BC为边分别向外作等边△ADE和等边△BCF，
∴AD=DE=AE，BF=BC，
∴AE=CF，
∵∠EAB=∠DAB+∠DAE，∠DCF=∠DCB+∠BCF，
∴∠EAB=∠DCF，
在△EAB和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DCF（SAS），
∴BE=FD，
∴四边形DEBF是平行四边形．

（2）如图2中，连接AH、CG、EF、AC、BD，

由（1）可知四边形DEBF是平行四边形，
∴EF与BD互相平分，
同理可证四边形AGCH是平行四边形，
∴AC与GH互相平分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴EF与GH互相平分，
∴四边形EGFH是平行四边形．

（3）如图3中，当四边形ABCD是矩形时，四边形EGFH是菱形．

理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∵∠EDA=∠HDC=∠HCD=∠BCF=60°，
∴∠EDH=∠HCF=150°，
在△EDH和△FCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠EDH=∠FCH}\\{DH=HC}\end{array}\right.$，
∴△EDH≌△FCH，
∴HE=HF，
∵四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．