Question

17．已知，Rt△ABC和Rt△EDB中，∠ACB=∠BDE=90°，∠ABC=∠EBD，连接AE，点F为AE的中点，连接CF，DF．
（1）当点E、B、C三点共线时，如图1，则CF，DF的数量关系为CF=DF
（2）将Rt△EDB绕点B旋转到图2时，试探究CF与DF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）将Rt△EDB绕点B旋转到点D在BC上时，如图3，请探索线段AB、BE、DF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）结论：CF=DF．根据直角三角形斜边中线的性质定理可知CF=DF=$\frac{1}{2}$AE，延长即可解决问题．
（2）结论：CF=DF．如图2中，分别取AB、BE的中点G、H，连接CG、FG、DH、FH．首先证明四边形FGBH是平行四边形，再证明△FGC≌△DHF，即可解决问题．
（3）结论：AB=BE+2DF．如图3中，延长ED交AB于点L，首先证明BL=BE，再证明AL=2DF即可解决问题．

解答 解：（1）结论：CF=DF，理由如下：
如图1中，

∵E、B、C三点共线，∠ABC=∠EBD，
∴A，B，D三点共线，
∴∠ADE=ACE=90°，
∵点F为AE的中点，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$AE，
故答案为：CF=DF；

（2）结论：CF=DF．
理由：如图2中，分别取AB、BE的中点G、H，连接CG、FG、DH、FH．

∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴CG=AG=BG，DH=BH=EH，
∴∠GBC=∠GCB，∠HBD=∠HDB，
∵∠ABC=∠EBD，
∴∠GBC=∠GCB=∠HBD=∠HDB，
∴∠BGC=∠BHD，
∵点F为AE的中点，
∴FG、FH是△ABE的中位线，
∴FG∥BE，FH∥AB，
∴四边形FGBH是平行四边形，
∴FG=BH，FH=BG，∠FGB=∠FHB，
∴FG=DH，CG=FH，
∵∠FGC=∠FGB+∠BGC=∠FHB+∠BHD=∠DHF，
∴△FGC≌△DHF，
∴CF=DF．

（3）结论：AB=BE+2DF．
理由：如图3中，延长ED交AB于点L，

∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴BD⊥EL，
∵∠ABC=∠EBD，
∴BL=BE，DL=DE，
∵AF=EF，
∴DF是△AEL的中位线，
∴AL=2DF，
∵AB=BL+AL，
∴AB=BE+2DF．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题，注意题目中出现中点这个条件想到利用三角形中位线定理解决问题，属于中考压轴题．