Question

5．如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，D是射线AB上的动点（不与点A重合），DN⊥x轴于N，把△AND沿直线AB翻折，得到△AMD，延长MA交y轴于点C，过A、C、D三点的圆E与x轴交于点F，连结DF．
（1）直接写出tan∠BAO的值为2；
（2）求证：MC=NF；
（3）求线段OC的长；
（4）是否存在点D，使DF∥AC？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义即刻得到结论；
（2）连接DC，则∠MCD=∠NFD，根据全等三角形的性质即刻得到结论；
（3）作CG⊥y轴于G，根据平行线的性质得到∠AGC=∠DAF，等量代换得到∠AGC=∠GAC，求得GC=AC，设GC=a，根据三角函数的定义得到BC=2a，求得OC=2a-3，根据勾股定理即刻得到结论；
（4）设D（m，2m+3）当DF∥AC时，∠DFA=∠FAC，根据三角函数的定义得到DN=2m+3，求得NF=$\frac{3}{4}$（2m+3），列方程即刻得到结论．

解答 解：（1）在y=2x+3中，令y=0，得x=-$\frac{3}{2}$，令x=0，得y=3，
∴A（-$\frac{3}{2}$，0），B（0，3），
∴OA=$\frac{3}{2}$，OB=3，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=2；
故答案为：2；
（2）连接DC，则∠MCD=∠NFD，
在△MCD与△DNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MCD=∠NFD}\\{∠DMC=∠DNF}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△MCD≌△NFD，
∴MC=NF；
（3）作CG⊥y轴于G，
∵CG∥x轴，
∴∠AGC=∠DAF，
∵∠GAC=∠MAD=∠DAF，
∴∠AGC=∠GAC，
∴GC=AC，
设GC=a，
∵tan∠BAO=tan∠BGC=2，
∴BC=2a，
∴OC=2a-3，
∵AO²+OC²=AC²，
∴1.5²+（2a-3）²=a²，
解得：a=$\frac{5}{2}$，a=$\frac{3}{2}$（舍去），
∴线段OC的长是2；
（4）存在，理由：设D（m，2m+3）
当DF∥AC时，∠DFA=∠FAC，
由（3）知，tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}=\frac{4}{3}$，
∴tan∠DFA=$\frac{4}{3}$，
∵DN=2m+3，
∴NF=$\frac{3}{4}$（2m+3），
∵MA=AN=$\frac{3}{2}$+m，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴NF=MC=AC+AM=$\frac{3}{2}$+m+$\frac{5}{2}$=4+m=$\frac{3}{4}$（2m+3），
解得：m=$\frac{7}{2}$，
∴存在点D（$\frac{7}{2}$，10）．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．