Question

7．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF=2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD=1﹕4，求AC的长．

Answer 1

分析 解法一：利用构建方程组的思想解决问题．
解法二：首先证明△ABO是正三角形，在Rt△AOF中，AO=2OF=4，由此即可解决问题．

解答 解法一：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，OB=OD，AC=BD，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥AB，
又∵OB=OD，
∴AB=2OF=4cm，
∵BE：BD=1：4，
∴BE：ED=1：3，
设BE=x，ED=3 x，则BD=4 x，
∵AE⊥BD于点E
∴AE²=AB²-BE²=AD²-ED²，
∴16-x²=AD²-9x²，
又∵AD²=BD²-AB²=16 x²-16，
∴16-x²=16 x²-16-9x²，8 x²=32
∴x²=4，
∴x=2，
∴BD=2×4=8（cm），
∴AC=8 cm．       

解法二：在矩形ABCD中，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∵BE：BD=1：4，
∴BE：BO=1：2，即E是BO的中点，
又AE⊥BO，
∴AB=AO，
由矩形的对角线互相平分且相等，
∴AO=BO，
∴△ABO是正三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAD=90°-60°=30°，
在Rt△AOF中，AO=2OF=4，
∴AC=2AO=8．

点评 本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，解法二中发现△OAB是等边三角形是解题的突破口，属于中考常考题型．