Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
（1）求证：FD²=FB•FC；
（2）如果AC=6，BC=4，S_△FBD=2，求S_△FDC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠DCB=∠BDF，这是解决该题的关键结论；再由∠F=∠F，得到△BDF∽△DCF，即可解决问题．
（2）证明△BDC∽△BCA，得到BD：CD=BC：AC=2：3；由△BDF∽△DCF，得到

S△FBD

S△FDC

=(

BD

CD

)2=

4

9

，根据S_△FBD=2，求得S_△FDC=4.5．

解答：解：（1）如图，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠ABC，
∴∠A=∠DCB；
∵E是AC的中点，
∴ED=EA，∠A=∠EDA；
而∠BDF=∠EDA，
∴∠A=∠EDA，∠DCB=∠BDF，
而∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF，
∴FD：CF=BF：FD，
∴FD²=FB•FC．
（2）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ACB，而∠A=∠DCB，
∴△BDC∽△BCA，
∴BD：CD=BC：AC
=4：6=2：3；
∵△BDF∽△DCF，
∴

S△FBD

S△FDC

=(

BD

CD

)2=

4

9

，而S_△FBD=2，
∴S_△FDC=4.5．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；同时还渗透了对直角三角形的性质等几何知识的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．