Question

8．如图所示，每一条直线上的4个圆圈都与某个二次方程x²+px+q=0及其根x₁，x₂相联系，中间两个数字是x₁与x₂，两端的两个数字为p，q，那么任一满足条件的圆圈A中的数字是0．

Answer 1

分析 以2为系数、-1为根的方程x²+px+q=0有如下两种情况：①若p=2，x₁=-1，即x²+2x+q=0；求出q的值及方程的另一个根，继而可设以1为系数、-3和A为根的方程为x²+p₁x+q₁=0，以0为系数、-1和A为根的方程为x²+p₂x+q₂=0，由韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}{-3+A=-{p}_{1}}&{①}\\{-3A={q}_{1}}&{②}\\{-1+A=-{p}_{2}}&{③}\\{-A={q}_{2}}&{④}\end{array}\right.$，就此时所有可能p₁=1，p₂=0、p₁=1，q₂=0、q₁=1，p₂=0、q₁=1，q₂=0分别求出A的值，从而得出判断；②若q=2，x₂=-1，即x²+px+2=0；与①同理可得．

解答 解：以2为系数、-1为根的方程x²+px+q=0有如下两种情况：
1、若p=2，x₁=-1，即x²+2x+q=0，
将x₁=-1代入x²+2x+q=0，得：q=1，
即方程为x²+2x+1=0，
解得：x₁=x₂=-1，
如图1：

设以1为系数、-3和A为根的方程为x²+p₁x+q₁=0，以0为系数、-1和A为根的方程为x²+p₂x+q₂=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3+A=-{p}_{1}}&{①}\\{-3A={q}_{1}}&{②}\\{-1+A=-{p}_{2}}&{③}\\{-A={q}_{2}}&{④}\end{array}\right.$，
若p₁=1，p₂=0，代入①得：A=2，代入③得A=1，不符合题意；
若p₁=1，q₂=0，代入①得A=2，代入④得A=0，不符合题意；
若q₁=1，p₂=0，代入②得A=-$\frac{1}{3}$，代入③得A=1，不符合题意；
若q₁=1，q₂=0，代入②得A=-$\frac{1}{3}$，代入④得A=0，不符合题意；

2、若q=2，x₂=-1，即x²+px+2=0，
将x₂=-1代入x²+px+2=0，得：p=3，
即方程为x²+3x+2=0，
解得：x₁=-2，x₂=-1，
如图2，

设以3为系数、-3和A为根的方程为x²+p₁x+q₁=0，以0为系数、-2和A为根的方程为x²+p₂x+q₂=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3+A=-{p}_{1}}&{①}\\{-3A={q}_{1}}&{②}\\{-2+A=-{p}_{2}}&{③}\\{-2A={q}_{2}}&{④}\end{array}\right.$，
若p₁=3，p₂=0，代入①得A=0，代入③得A=2，不符合题意；
若p₁=3，q₂=0，代入①得A=0，代入④得A=0，符合题意；
若q₁=3，p₂=0，代入②得A=-1，代入③得A=2，不符合题意；
若q₁=3，q₂=0，代入②得A=-1，代入④得A=0，不符合题意；
综上，任一满足条件的圆圈A中的数字是0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查方程的解和解方程的能力及根与系数的关系，解题的关键是根据图中数字的分布罗列所有的可能结果．