题目内容
已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=
，点D、E在BC边上（均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧），且∠DAE=45°．（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上______，______；
（2）设BE=m，CD=n，求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）如图②，当BE=CD时，求DE的长；
（4）求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2=BD2+CE2．
【答案】分析：（1）根据两角对应相等，两三角形相似的判定方法就可以从图中找到两个相似的三角形．
（2））由∠BAC=90°，AB=AC，BC=
可以得出△BAE∽△CDA，利用相似三角形的性质就可以求出函数关系式．
（3）由（2）知BE•CD=4，可以求出BE=CD的值，求出BD的值后就可以求出DE的值．
（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，则FB=CE，AF=AE，∠1=∠2，由条件可以求出△AFD≌△AED，由勾股定理可以得出结论．
解答：
解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA．
故答案为：△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA．
（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=
，
由（1）知△BAE∽△CDA，
∴
．
∴
．
∴
（
）．
要保证∠DAE=45°且不与点B、C重合，
∴CD＜2
，D点不能位于BC中点及右侧，
∴CD＞
∴（
）．
（3）由（2）知BE•CD=4，
∴BE=CD=2．
∴BD=BC-CD=
．
∴DE=BE-BD=
．
（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，
则FB=CE，AF=AE，∠1=∠2，
∴∠FBD=90°．
∴DF2=BD2+FB2=BD2+CE2．
∵∠3+∠1=∠3+∠2=45°，
∴∠FAD=∠DAE．
又∵AD=AD，AF=AE，
∴△AFD≌△AED．
∴DE=DF．
∴DE2=BD2+CE2．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用及旋转的性质．
（2））由∠BAC=90°，AB=AC，BC=
可以得出△BAE∽△CDA，利用相似三角形的性质就可以求出函数关系式．（3）由（2）知BE•CD=4，可以求出BE=CD的值，求出BD的值后就可以求出DE的值．
（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，则FB=CE，AF=AE，∠1=∠2，由条件可以求出△AFD≌△AED，由勾股定理可以得出结论．
解答：
解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA．
故答案为：△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA．
（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=
，由（1）知△BAE∽△CDA，
∴
．∴
．∴
（
）．要保证∠DAE=45°且不与点B、C重合，
∴CD＜2
，D点不能位于BC中点及右侧，∴CD＞
∴（
）．（3）由（2）知BE•CD=4，
∴BE=CD=2．
∴BD=BC-CD=
．∴DE=BE-BD=
．（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，
则FB=CE，AF=AE，∠1=∠2，
∴∠FBD=90°．
∴DF2=BD2+FB2=BD2+CE2．
∵∠3+∠1=∠3+∠2=45°，
∴∠FAD=∠DAE．
又∵AD=AD，AF=AE，
∴△AFD≌△AED．
∴DE=DF．
∴DE2=BD2+CE2．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用及旋转的性质．
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