Question

16．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，已知AE=10，BE=2，∠AEC=45°，则弦CD的长是4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先求出OC的长；借助勾股定理求出OF的长；再次借助勾股定理求出CF的长，即可解决问题．

解答 解：如图，连接OC，过点O作OF⊥CD于点F；
∵AE=10，BE=2，
∴OC=OA=6，OE=6-2=4；
∵∠AEC=45°，
∴∠EOF=90°-45°=45°，
∴∠OEF=∠EOF=45°，
∴OF=EF（设为λ）；
由勾股定理得：λ²+λ²=4²；
解得：λ=2$\sqrt{2}$；
由勾股定理得：CF²=OC²-OF²，
解得：CF=2$\sqrt{7}$，
∴CD=2CF=4$\sqrt{7}$，
故答案为4$\sqrt{7}$．

点评 该题主要考查了垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径垂径定理、勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．