Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中点．
（1）求证：AD=BD=CD；
（2）如图M，N分别是AC，BC边上的动点，∠MDN=90°，求证：BN=CM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）根据斜边中线性质即可解题；
（2）连接CD，可证∠MDC=∠BDN，即可证明△MCD≌△NBD即可解题．

解答：解：（1）∵D是AB的中点，
∴CD是RT△ACB的中线，
∴CD=

1

2

AB，
∵AD=BD，
∴AD=BD=CD；
（2）连接CD，

∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∵D是AB中点，且AC=BC，
∴CD=AD，CD⊥AB
∴∠ACD=45°，
∵∠MDC+∠CDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN，
在△MCD和△NBD中，

∠MDC=∠BDN CD=BD ∠ACD=∠B

，
∴△MCD≌△NBD（ASA），
∴CM=BN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△MCD≌△NBD是解题的关键．