Question

15．在正方形ABCD中．
（1）如图，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．证明：△BGF是等腰直角三角形；
（2）若点E在直线BC上，（1）中其余条件不变，上述结论还成立吗？请画出图形，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出GF=GB，再根据正方形的性质以及三角形外角性质，求得∠BGF=2∠BAF=90°，即可得出△BGF为等腰直角三角形；
（2）分两种情况进行讨论：当E在CB延长线上时，当E在BC延长线上时，分别根据（1）中的方法进行证明即可．

解答 解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°
∵G为斜边AE的中点，
∴在Rt△AEF中，GF=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAB=∠GBA，
∵∠ABE=90°，G为斜边AE的中点，
∴在Rt△ABE中，BG=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAF=∠GFA，且GF=GB，
∵∠BGE是△ABG的外角，∠EGF是△AGF的外角，
∴∠BGF=∠BGE+∠EGF=2∠GAB+2∠GAF=2∠BAF=90°，
∴△BGF为等腰直角三角形；

（2）分两种情况：
①如图所示，当E在CB延长线上时，
∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°
∵G为斜边AE的中点，
∴在Rt△AEF中，GF=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAB=∠GBA，
∵∠ABE=90°，G为斜边AE的中点，
∴在Rt△ABE中，BG=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAF=∠GFA，且GF=GB，
∵∠BGE是△ABG的外角，∠EGF是△AGF的外角，
∴∠BGF=∠EGF-∠BGE=2∠GAF-2∠GAB=2∠BAF=90°，
∴△BGF为等腰直角三角形；
②如图所示，当E在BC延长线上时，
同理可得GF=GB，
∵∠BGE是△ABG的外角，∠EGF是△AGF的外角，
∴∠BGF=∠BGE-∠EGF=2∠GAB-2∠GAF=2∠BAF=90°，
∴△BGF为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．