Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边BC上一动点（不与B，C重合），DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．
（1）试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．
（2）若∠BAC=30°，连接CE，在D点运动过程中，探求CE与AD的数量关系．

Answer 1

分析 （1）EF和CF分别是直角△AED和直角△ACD斜边上的中线，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得；
（2）证明△EFC是等边三角形，然后根据等边三角形的定义以及直角三角形的性质求解．

解答 解：（1）EF=CF，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是线段AD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$ AD，CF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EF=CF．   
（2）由（1）可知EF=AF=CF，
∴∠AEF=∠EAF，∠ACF=∠CAF，
∴∠EFD=2∠EAF，∠CFD=2∠CAF，
∴∠EFC=2∠BAC=60°，
又EF=CF，
∴△EFC为等边三角形，
∴CE=EF=$\frac{1}{2}$ AD．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定与性质，证得△EFC是等边三角形是关键．