Question

4．一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°
（1）请写出A，B两点坐标并在方格纸中画出函数图象与等腰Rt△ABC；
（2）求过B、C两点直线的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）在坐标系画出一次函数的图象，作出等腰直角三角形如图，根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．

解答 解：∵一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2中，令x=0得：y=2；
令y=0，解得x=3． 
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0），
画出函数图象与等腰Rt△ABC如图：
（2）作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
则C的坐标是（5，3）．                    
设BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
则BC的解析式是：y=$\frac{1}{5}$x+2．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定定理与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．