Question

4．设x，y，z∈R，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}+{y}^{2}+4=5yz}\\{{y}^{4}+{z}^{2}+4=5zx}\\{{z}^{4}+{x}^{2}+4=5xy}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据解高次方程的方法可以解答此方程．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}+{y}^{2}+4=5yz}&{①}\\{{y}^{4}+{z}^{2}+4=5zx}&{②}\\{{z}^{4}+{x}^{2}+4=5xy}&{③}\end{array}\right.$，
通过观察可知：x=y=z，
则将x=y=z代入①，得
x⁴+x²+4=5x²，
∴x⁴-4x²+4=0，
∴（x²-2）²=0，
得x²=2，
∴x=$±\sqrt{2}$，
∴方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\sqrt{2}}\\{z=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}}\\{z=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查高次方程，解答本题的关键是明确解高次方程的方法．