Question

18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE=$\sqrt{2}$，则BD的值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，延长BA、CE交于点M，只要证明△ABD≌△ACM，△BEC≌△BEM，即可推出BD=2CE由此即可解决问题．

解答 解：如图，延长BA、CE交于点M．

∵BC是直径，∠ABD=∠ACM，
∴∠BAD=∠CAM=90°，
在△ABD和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAM}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM，
在△BEC和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠EBC}\\{BE=BE}\\{∠BEM=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△BEM．
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形外接圆以及外心，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．