题目内容
4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、E、P均在坐标轴上，A（0，3）、B（-4，0）、P（0，-3），点C是线段OP（不包含O、P）上一动点，AB∥CE，延长CE到D，使CD=BA（1）如图，点M在线段AB上，连MD，∠MAO与∠MDC的平分线交于N．若∠BAO=α，∠BMD=130°，则∠AND的度数为$\frac{1}{2}$α+25°
（2）如图，连BD交y轴于F．若OC=2OF，求点C的坐标
（3）如图，连BD交y轴于F，在点C运动的过程中，$\frac{AO-OC}{OF}$的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
分析 （1）作NG∥AB．首先证明∠AND=∠ANG+∠DNG=$\frac{1}{2}$∠BAO+$\frac{1}{2}$∠MDC，由∠BAO=α，∠MDC=180°-∠BMD=180°-130°=50°，即可解决问题．
（2）由AB∥CD，推出△AFB∽△CFD，推出$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AF}{FC}$，由AB=CD，推出AF=FC，由OC=2OF，设OF=a，则OC=2a，FC=AF=3a，OA=4a，推出4a=3，推出a=$\frac{3}{4}$，推出OC=2a=$\frac{3}{2}$，即可角问题．
（3）由AF=FC，设OF=m，则AF=3-m，OC=3-m-m=3-2m，代入$\frac{AO-OC}{OF}$计算即可得出结论．
解答 解：（1）如图1中，作NG∥AB．
∵AB∥CD，NG∥AB，
∴AB∥NG∥CD，
∴∠ANG=∠BAN，∠DNG=∠NDC，
∵∠NAB=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠NDC=$\frac{1}{2}$∠MDC，
∴∠AND=∠ANG+∠DNG=$\frac{1}{2}$∠BAO+$\frac{1}{2}$∠MDC，
∵∠BAO=α，∠MDC=180°-∠BMD=180°-130°=50°，
∴∠AND=$\frac{1}{2}$α+25°，
故答案为$\frac{1}{2}$α+25°；
（2）如图2中，
∵AB∥CD，
∴△AFB∽△CFD，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AF}{FC}$，∵AB=CD，
∴AF=FC，
∵OC=2OF，设OF=a，则OC=2a，FC=AF=3a，OA=4a，
∴4a=3，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴OC=2a=$\frac{3}{2}$，
∴C（0，-$\frac{3}{2}$）；
（3）结论：$\frac{AO-OC}{OF}$的值不变．理由如下：
如图2中，∵AB∥CD，
∴△AFB∽△CFD，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AF}{FC}$，∵AB=CD，
∴AF=FC，设OF=m，则AF=3-m，OC=3-m-m=3-2m，
∴$\frac{AO-OC}{OF}$=$\frac{3-（3-2m）}{m}$=$\frac{2m}{m}$=2，
∴$\frac{AO-OC}{OF}$的值不变．
点评 本题考查三角形综合题、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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