Question

20．如图，已知直线l₁：y=-3x+3与直线l₂：y=mx-4m的图象的交点C在第四象限，且点C到y轴的距离为2．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点P，使得以P，A，O为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线直线l₁解析式可滶得C点坐标，把C点坐标代入直线l₂解析式可求得m的值，则可求得直线l₂的解析式；
（2）作第一象限的角平分线OM，分∠PAO=90°和∠APO=90°，分别根据等腰直角三角形的性质可求得P点的坐标．

解答 解：
（1）在直线y=-3x+3中，当x=2时，y=-3，
∴点C的坐标为（2，-3），
把C点坐标代入直线l₂的解析式可得2m-4m=-3，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴直线l₂的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-6；
（2）存在．
如图1，作第一象限的角平分线OM，则∠MOA=45°，点P在OM上，
∴以点P、A、O为顶点的直角三角形分两种情况：
①当∠PAO=90°时，则有AO=PA，

∵直线l₂与x轴交于点A，
∴A（4，0），
∴PA=OA=4，
∴P（4，4）；
②当∠APO=90°时，则有AP=PO，过点P作PH⊥OA于点H，如图2，

∴OH=$\frac{1}{2}$AO=2，
∵∠POH=45°，∠OHP=90°，
∴∠OPH=∠POH=45°，
∴PH=OH=2，
∴P（2，2）；
综上可知在第一象限的角平分线上存在点P使得△PAO是直角三角形，点P的坐标为（2，2）或（4，4）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．