Question

5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=2，BC=3，tan∠ADC=3．
（1）求证：DC=BC；
（2）E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过A作DC的垂线AM交DC于M，可得四边形ABCM是矩形，根据矩形的对边相等求出AM=3，再根据tan∠ADC=3求出DM=1，然后求出CD=3，从而得证；
（2）利用“边角边”证明△DEC和△BFC全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF，全等三角形对应角相等可得∠ECD=∠BCF，然后求出∠ECF=90°，从而判断出是等腰直角三角形．

解答 （1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，
则四边形ABCM是矩形，
则AM=BC=3，MC=AB=2，
又∵tan∠ADC=$\frac{AM}{DM}$=3，
∴DM=1，
∴DC=DM+MC=3，
∴DC=BC；

（2）解：△ECF是等腰直角三角形．理由如下：
∵在△DEC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠EDC=∠FBC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF为等腰直角三角形．

点评 本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，解直角三角形，准确识图确定出全等三角形是解题的关键．