Question

3．如图，是将抛物线y=-x²平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；
（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，-a²+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；
（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，-t²+2t+3），代入y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，即可求解．

解答 解：（1）设抛物线的解析式是y=-（x-1）²+k．
把（-1，0）代入得0=-（-1-1）²+k，
解得k=4，
则抛物线的解析式是y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）在y=-x²+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．
∵B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OCB=45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB=90°，
∴∠NCH=45°，
∴NH=CH，
∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，
设点N坐标是（a，-a²+2a+3）．
∴a+3=-a²+2a+3，
解得a=0（舍去）或a=1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，
设P（t，-t²+2t+3），代入y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，则-t²+2t+3=$\frac{3}{2}$（t+1）+$\frac{3}{2}$，
整理，得2t²-t=0，
解得t=0或$\frac{1}{2}$．
∴-t²+2t+3的值为3或$\frac{15}{4}$．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）、（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．