Question

14．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
（2）由S_阴影=2×（S_△PAO-S_扇形）则可求得结果．

解答 解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=120°，
∴∠P=360°-（90°+90°+120°）=60°．
∴∠P=60°．
（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴$∠APO=\frac{1}{2}∠$APB=30°，
在Rt△APO中，tan30°=$\frac{OA}{AP}$，
∴AP=$\frac{OA}{tan30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$cm，
∴S_阴影=2S_△AOP-S_扇形=2×（$\frac{1}{2}$×4×$4\sqrt{3}$-$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$）=（16$\sqrt{3}$-$\frac{16π}{3}$）（cm²）．

点评 此题考查了切线的性质，解直角三角函数，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．