Question

如图，分别以边长2为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交⊙C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，交边BC于点N，连接MN，求MN的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：压轴题

分析：如图，过点E作EP⊥AB，连接EA、EC，易得△EAC为正三角形，△ABC为正三角形；由正三角形的性质、平行线的性质求得△ECG为等腰直角三角形，根据勾股定理、圆的半径的性质推知EM=EG=2

2

；
然后在直角△EPA和直角△EPM中由勾股定理、线段间的和差关系求得AM、BM的长度；最后根据M，N关于BE对称的特点以及平行线的判定可以证得△BMN为等边三角形，从而得知NM=3-

5

．

解答：解：如图，过点E作EP⊥AB，连接EA、EC、EM．
∵在⊙C中，EC=AC；在⊙A中，AE=AC，
∴EC=AC=AE，
∴△EAC为正三角形；
同理证得△ABC为正三角形，则∠ECA=∠CAB=60°，
∴EC∥AB，
又∵由相交两圆的性质得：CG⊥AB，
∴EC⊥CG，
∴EM=EG=

22+22

=2

2

，
∵∠EAP=60°，
∴EP=

3

，AP=1，PM=

EM2-EP2

=

5

，
∴AM=PM-AP=

5

-1，
∴BM=AB-AM=2-（

5

-1）=3-

5

；
又由对称性可知M，N关于BE对称，BN=BM=3-

5

且MN∥AC，
∴△BMN为等边三角形，即NM=3-

5

．

点评：本题考查了圆的综合题．此题涉及到的知识点有：勾股定理、等边三角形的判定与性质以及线段间的和差关系．