Question

如图，已知正方形ABCD，在AD、AC上分别取E、F两点，使ED：AD=2FC：AC，求证：△BEF是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：

分析：过F作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，求出EG=FH，BH=FG，证出RT△BHF≌RT△FGE，推出BF=EF，∠EFG=∠FBH，求出∠EFB=90°，即可得出答案．

解答：证明：过F作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，
则有GD：AD=FC：AC①，
而已知ED：AD=2FC：AC②，
由①②得ED=2GD，
即EG=GD（G为ED中点），
即EG=GD=HC=FH，
∵BH=BC-HC且GF=GH-FH，GH=CD=BC，
∴BH=GF，
在RT△BHF和RT△FGE中

BH=GF ∠EGF=∠EGF=90° FH=EG

∴RT△BHF≌RT△FGE（SAS），
∴BF=EF，∠EFG=∠FBH，
∵∠EGF=90°，
∴∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠EFG+∠BFH=90°，
∴∠EFB=180°90°=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．