Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得．

解：①∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵∠ADE＝∠B，

∴∠ADE＝∠C，

∴△ADE∽△ACD，故①正确；

②作AG⊥BC于G，

∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，

∴BG＝ABcosB，

∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，

∵BD＝6，

∴DC＝10，

∴AB＝DC，

在△ABD与△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确；

③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC＝∠AED，

∵∠AED＝90°，

∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，

当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，

∵∠CDE＝90°，

∴∠BAD＝90°，

∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，

∴cosB＝＝，

∴BD＝，故③错误；

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，

设BD＝y，CE＝x，

∴，

∴，

整理得：y216y＋64＝6410x，

即（y8）2＝6410x，

∴0＜x≤6.4，故④正确；

故答案为：①②④．