Question

【题目】已知二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx+m﹣，二次函数与x轴交于A、B两点(B在A右侧)，与y轴交于C点，二次函数顶点为M．已知∠OMB＝90°．

①求顶点坐标．

②求二次函数解析式．

③N为线段BM中点，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得∠PON＝60°，若存在求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】①顶点M(1,﹣)；②y；③存在，当点P(1,)或(1,﹣3)时，使得∠PON＝60°．

【解析】

①先求出对称轴为x＝1，代入解析式可求顶点坐标；

②通过证明△MEO∽△BEM，可得，可求BE＝3，可得点B坐标，代入可求解析式；

③分两种情况讨论，由相似三角形的性质和两点距离公式可求解．

①∵x＝﹣＝1，

∴y＝m﹣2m+m﹣＝﹣，

∴顶点M(1,﹣)；

②如图1，过点M作ME⊥OB于E，

∵顶点M(1,﹣)

∴EM＝，OE＝1，

∵∠OMB＝90°．

∴∠OME+∠BME＝90°，

∵ME⊥OB，

∴∠OME+∠MOE＝90°，

∴∠MOE＝∠EMB，且∠MEO＝∠MEB＝90°，

∴△MEO∽△BEM，

∴，

∴BE＝3，

∴OB＝OE+BE＝4，

∴点B(4，0)，

∴0＝16m﹣8m+m﹣，

∴m＝，

∴二次函数解析式为：y；

③如图2，若点P在x轴上方，

∵顶点M(1,﹣)

∴EM＝，OE＝1，

∴tan∠EOM＝＝，OM＝＝＝2，

∴∠EOM＝60°，

又∵∠OMB＝90°

∴MB=OMtan∠EOM＝2，

∵N为线段BM中点，

∴MN＝，

∵∠PON＝∠MOB＝60°，

∴∠POE＝∠OMN，且∠PEO＝∠OMN＝90°，

∴△OMN∽△OEP，

∴，

∴PE＝，

∴点P(1,)；

如图3，若点P在x轴下方，在OP上截取OF＝ON，连接NF，

∵OM＝2，MN＝，

∴ON＝

∵ON＝OF，∠PON＝60°，

∴△ONF是等边三角形，

∴OF＝ON＝FN＝，

∵N为线段BM中点，点B(4，0)，点M(1,﹣)

∴点N(,﹣)

设点F(a，b)

解得

∴点F(,)

∴直线OF的解析式为：y＝﹣3x，

∴当x＝1时，y＝﹣3，

∴点P(1,﹣3)

综上所述：当点P(1,)或(1,﹣3)时，使得∠PON＝60°．