Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且，直线轴，在轴上有一动点过点作平行于轴的直线与抛物线、直线的交点分别为、．

求抛物线的解析式；

当时，求面积的最大值；

当时，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)12 (3)或或

【解析】

（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；

（2）分0＜t＜6时和6＜t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；

（3）以点D为分界点，分2＜t≤8时和t＞8时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．

由题意知、是方程的两根，

∴，

由

解得：

∴、

则，

解得：，

∴该抛物线解析式为：；

可求得

设直线的解析式为：，

∵

∴

∴直线的解析式为：，

要构成，显然，分两种情况讨论：

①当时，设直线与交点为，则：，

∵，

∴，

∴，

此时最大值为：，

②当时，设直线与交点为，则：，

∵，∴，

∴，

当时，取最大值，最大值为：，

综上可知，当时，面积的最大值为；

如图，连接，则中，，，，

，，

①当时，，，

若：，则：，

即：，

∴（舍），或，

若，则：，

即：，

∴（舍）或（舍），

②当时，，，

若：，则：，

即：，

∴（舍），或，

若，则：，

即：，

∴（舍）或，

∴或或．