Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0），直线a为过点D（0，-1）且平行于x轴的直线．
（1）直接写出点B关于直线a对称的点E的坐标（0，-4）；
（2）若P为直线a上一动点，请求出△PBA周长的最小值和此时P点坐标；
（3）若M为直线a上一动点，且S_△ABC=S_△MAB，请求出M点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点关于已知直线对称的点的特点即可得到结论；
（2）由B、E关于直线a对称，得到PB=PE，于是得到△PBA周长=AB+BP+PA=AB+PE+PA，根据两点之间线段最段，于是得到△PBA周长的最小值=AB+AE=$\sqrt{5}+\sqrt{17}$，求得直线AE的解析式：y=-4x-4，即可得到结论；
（3）设M（m，-1），由S_△ABC=S_△MAB，得到点M在过C且平行于AB的直线上，通过直线AB的解析式为：y=2x+2，设直线CM的解析式为：y=2x+n，即可得到结论．

解答 解：（1）∵B（0，2），D（0，-1），
∴BD=3，
∵直线a为过点D（0，-1）且平行于x轴的直线．
∴BD⊥直线a，
∴点B关于直线a对称的点E的坐标（0，-4）；
故答案为：（0，-4）；

（2）∵B、E关于直线a对称，
∴PB=PE，
∴△PBA周长=AB+BP+PA
=AB+PE+PA
∵两点之间线段最段，
∴△PBA周长的最小值=AB+AE=$\sqrt{5}+\sqrt{17}$，
∴直线AE的解析式：y=-4x-4，
当y=-1时，x=$-\frac{3}{4}$，
∴P点坐标（$-\frac{3}{4}$，-1）；

（3）设M（m，-1），
当M在第四象限，
∵S_△ABC=S_△MAB，
∴点M在过C且平行于AB的直线上，
∵直线AB的解析式为：y=2x+2，
设直线CM的解析式为：y=2x+n，
∴0=2×3+n，
∴n=-6，
∴直线CM的解析式为：y=2x-6，
∴m=$\frac{5}{2}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，-1），
当M在第三象限，
直线AB与直线a交于G（-$\frac{3}{2}$，-1），
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$-m）×（2+1）-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$-m）×1=$\frac{1}{2}$×4×2，
∴m=-5.5，
∴M（-5.5，-1）．

点评 此题主要考查了轴对称--最短路线问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．