Question

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，将△ABC绕C点旋转一个角度到△DEC，直线AD、EB交于F点，在旋转过程中，△ABF的面积的最大值是5．

Answer 1

分析 设∠BCE=∠ACD=α，可得∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，根据四边形内角和可得∠BFA=90°，由勾股定理求得AF²+BF²=AB²=20，从而知AF²+BF²≥2AF•BF，即AF•BF≤$\frac{A{F}^{2}+B{F}^{2}}{2}$=10，继而得S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BF≤5．

解答 解：∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
设∠BCE=∠ACD=α，
∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴在四边形BCDP中，∠BFA=360°-90°-α-2（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴AF²+BF²=AB²=20，
∵AF²+BF²≥2AF•BF，
∴AF•BF≤$\frac{A{F}^{2}+B{F}^{2}}{2}$=10，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BF≤5，即△ABF的面积的最大值是5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是根据四边形内角和得出∠BPA=90°．