Question

6．如图，将△ABC的边AB延长2倍至点A₁，边BC延长2倍至点B₁，边CA延长2倍至点C₁，顺次连结A₁、B₁、C₁，得△A₁B₁C₁，再分别延长△A₁B₁C₁的各边2倍得△A₂B₂C₂，…，依次这样下去，得△A_nB_nC_n，若△ABC的面积为1，则△A_nB_nC_n的面积为19ⁿ．

Answer 1

分析 根据等底的三角形高的比等于面积比推理出△A₁B₁C的面积是△A₁BC面积的2倍，则△A₁B₁B的面积是△A₁BC面积的3倍…，以此类推，得出△A₂B₂C₂的面积．

解答 解：连接A₁C，根据A₁B=2AB，得到：AB：A₁A=1：3，
因而若过点B，A₁作△ABC与△AA₁C的AC边上的高，则高线的比是1：3，
因而面积的比是1：3，则△A₁BC的面积是△ABC的面积的2倍，
设△ABC的面积是a，则△A₁BC的面积是2a，
同理可以得到△A₁B₁C的面积是△A₁BC面积的2倍，是4a，
则△A₁B₁B的面积是6a，
同理△B₁C₁C和△A₁C₁A的面积都是6a，
△A₁B₁C₁的面积是19a，
即△A₁B₁C₁的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A₂B₂C₂的面积是△A₁B₁C₁的面积的19倍，
即△A₁B₁C₁的面积是19，△A₂B₂C₂的面积19²，
依此类推，△A_nB_nC_n的面积是S_n=19ⁿ．
故答案为：19ⁿ．

点评 考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键，本题的难度较大．