Question

17．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是
a²-b²=（a+b）（a-b）．
请你利用这个公式计算：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{9{9}^{2}}$）（1-$\frac{1}{10{0}^{2}}$）

Answer 1

分析 分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解；利用平方差公式，即可解答．

解答 解：左边图形中，阴影部分的面积=a²-b²，
右边图形中，阴影部分的面积=（a+b）（a-b），
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
∴a²-b²=（a+b）（a-b）．
故答案为：a+b，a-b；
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{9{9}^{2}}$）（1-$\frac{1}{10{0}^{2}}$）
=$（1+\frac{1}{2}）（1-\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{3}）$$（1+\frac{1}{4}）（1-\frac{1}{4}）$…$（1+\frac{1}{99}）（1-\frac{1}{99}）（1+\frac{1}{100}）（1-\frac{1}{100}）$
=$\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\frac{5}{4}×\frac{3}{4}$…×$\frac{100}{99}×\frac{98}{99}×\frac{101}{100}×\frac{99}{100}$
=$\frac{1}{2}×\frac{101}{100}$
=$\frac{101}{200}$．

点评 本题考查了平方差，解决本题的关键是熟记平方差公式．