Question

20．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2与x轴交于A、B两点，（A点在B点左边），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）M为该抛物线对称轴上一点，是否存在以AC为斜边的直角三角形MAC？若存在，求点M的坐标，并求三角形MAC的面积；若不存在，请说明理由；
（3）D为第三象限抛物线上一动点，直线DE∥y轴交线段AC于E点，过D点作DF∥CB交AC于F点，求△DEF周长的最大值和此时点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）令y=0求A、B两点横坐标，令x=0求C点纵坐标；
（2）求得对称轴，然后设M（-$\frac{3}{2}$，n），根据勾股定理列出关于n的方程，解方程即可求得M的坐标，然后求得直线AB与对称轴的交点坐标，根据三角形MAC的面积等于两个三角形面积的和求得即可；
（3）先求得△ACO的周长，然后求得△DEF∽△ACO，然后利用相似三角形的周长比等于对应边的比来列式求解．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x₁=-4，x₂=1．
令x=0，则y=-2，
所以A、B、C的坐标分别是A（-4，0）、B（1，0）、C（0，-2）；
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，
设M（-$\frac{3}{2}$，n），
∵A（-4，0）、C（0，-2）；
∴MA²=（-$\frac{3}{2}$+4）²+n²=$\frac{25}{4}$+n²，MC²=（-$\frac{3}{2}$）²+（n+2）²=n²+4n+$\frac{25}{4}$，AC²=4²+2²=20，
∵△MAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴MA²+MC²=AC²，即$\frac{25}{4}$+n²+n²+4n+$\frac{25}{4}$=20，
解得n=-1±$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
∴M（-$\frac{3}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）；
由A（-4，0）、C（0，-2）可知直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-2，
把x=-$\frac{3}{2}$代入得，y=-$\frac{5}{4}$，
∴直线AB与对称轴的交点为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
当M（-$\frac{3}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）时，S_△MAC=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$+$\frac{5}{4}$）×4=$\frac{1+2\sqrt{19}}{2}$；
当M（-$\frac{3}{2}$，-1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）时，S_△MAC=$\frac{1}{2}$（-$\frac{5}{4}$+1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）×4=$\frac{2\sqrt{19}-1}{2}$；
（3）∵直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-2，
设点D的横坐标为t，
∴D（t，$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-2），E（t，-$\frac{1}{2}$t-2），
∴DE=（-$\frac{1}{2}$t-2）-（$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²-2t，
∵A（-4，0）、B（1，0）、C（0，-2）；
∴OA=4，OC=2，OB=1，
∴AC=$\sqrt{20}$，BC=$\sqrt{5}$，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²=25，
∴∠ACB=90°，
∵DF∥CB，
∴∠DFE=90°，
∵DE∥y轴，
∴∠ACO=∠DEF，
∵∠DFE=∠AOC=90°，
∴△DEF∽△ACO，
∴$\frac{△DEF周长}{△ACO周长}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}-2t}{\sqrt{20}}$，
∵△ACO的周长=OA+OC+AC=4+2+$\sqrt{20}$=6+2$\sqrt{5}$，
∴△DEF的周长=$\frac{6+2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$（-$\frac{1}{2}$t²-2t）=-$\frac{6+2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$（t+2）²+$\frac{6\sqrt{5}+10}{5}$，

∴当t=-2时，△DEF周长的最大值=$\frac{6\sqrt{5}+10}{5}$，此时D（-2，-3），
∵直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-2，
∴设直线DF的解析式为y=2x+b，
把D（-2，-3）代入得，-3=-4+b，
∴b=1，
∴线DF的解析式为y=2x+1
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{y=-\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，
∴F（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{7}{5}$）．

点评 此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判断和性质、等勾股定理的应用以及直角三角形的判定等；后面两个小题中，利用几何知识来解是比较简便快捷的方式，体现了数形结合思想的合理应用．