Question

6．如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=2β．求证：tanα•tanβ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先连接AC，易得∠A=β，由AB是⊙O的直径，可表示出tanβ，又由BD垂直于弦BC，可表示出tanα，BD∥AC，证得△PBD∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 证明：连接AC，则∠A=$\frac{1}{2}$∠POC=β，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tanβ=$\frac{BC}{AC}$，
∵BD垂直于弦BC，
即DB⊥BC，
∴tanα=$\frac{BD}{BC}$，BD∥AC，
∴tana•tanβ=$\frac{BD}{BC}$•$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{AC}$，
∴∠DBP=∠A，
又∵∠P=∠P，
∴△PBD∽△PAC，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，
∵PB=0B=OA，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{1}{3}$，
∴tana•tanβ=$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．