Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，抛物线的对称轴是直线x=1，其顶点为D（1，4）
（1）若点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM∥y轴，交直线AC于点M，当线段PM的长度最大时，请求出最大值及点P的坐标
（2）连接AN，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使∠EAC=∠ANO，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）代入A，C两点可求得直线AC解析式，根据PM=-x²+2x+3-（x+1）即可解题；
（2）存在2种情况：①∠EAC=∠ANO，②∠E'AC=∠ANO，即可求得tan∠EAB的值，即可求得直线AE斜率，根据直线经过A点即可求得直线AE解析式，即可求得直线和抛物线交点，即可解题．

解答：解：（1）设点P坐标为（x，y），
∵直线AC经过A，C两点，设直线AC解析式为y=kx+b，
则有

-k+b=0 2k+b=3

，
解得：k=1，b=1，
∴直线AC解析式为y=x+1，
∴线段PM长度=-x²+2x+3-x-1=-x²+x+2，
∴当x=-

b

2a

=

1

2

时，线段PM长度有最大值为

5

2

；

（2）存在2种情况：

①∠EAC=∠ANO，
∵∠CAB=45°，
∴tan∠CAB=1，
∵tan∠ANO=

1

3

，
∴tan∠EAC=

1

3

，
∴tan∠EAB=tan（∠CAB-∠EAC）=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
∵直线AE经过点A，
∴直线AE解析式为：y=

1

2

x+

1

2

，
∴点E坐标为：（

5

2

，

7

4

）；
②∠E′AC=∠ANO，
∵∠CAB=45°，
∴tan∠CAB=1，
∵tan∠ANO=

1

3

，
∴tan∠E'AC=

1

3

，
∴tan∠E'AB=tan（∠CAB+∠E'AC）=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
∵直线AE经过点A，
∴直线AE解析式为：y=2x+2，
∴点E坐标为：（1，4）；
∴存在点E，坐标为（1，4）或（

5

2

，

7

4

）．

点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了抛物线和直线交点的求解，考查了三角函数的运用，本题中求得直线AE的解析式是解题的关键．