Question

4．在平面上△ABC的最大角小于120°时，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC为最小．

Answer 1

分析 把△ABC的三边分别绕端点向外旋转60°作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，连接CD、AE相交于点P，点P即为所求；先证△ABE≌△DBC得∠1=∠2，在CD上截取DM=AP，再证△DBM≌△ABP可得BM=BP、∠3=∠4，由∠MBP=∠ABC+∠ABD-∠3-∠5=∠ABD=60°知△MBP是等边三角形，即PM=PB，从而由PA+PB+PC=DM+MP+PC=CD，依据两点之间线段最短即可得证．

解答 解：如图，把△ABC的三边分别绕端点向外旋转60°作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，连接CD、AE相交于点P，点P即为所求；

由作法可知，AB=AD、BE=BC，∠EBC=∠DAB=60°，
∴∠ABE=∠DBC=60°+∠ABC，
在△ABE和△DBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠1=∠2，
在CD上截取DM=AP，
在△DBM和△ABP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DM=AP}\\{∠1=∠2}\\{DB=AB}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△ABP（SAS），
∴BM=BP，∠3=∠4，
∵∠MBP=∠ABC+∠ABD-∠3-∠5，
∴∠MBP=∠ABC+∠ABD-∠4-∠5=∠ABD=60°，
∴△MBP是等边三角形，
∴PM=PB，
则PA+PB+PC=DM+MP+PC=CD，
即此时PA+PB+PC最小．

点评 本题主要考查利用旋转变换解决最短线路问题，熟练掌握旋转变换的性质及两点之间线段最短这一基本依据是解题的关键．