Question

4．如图，已知抛物线y₁=-x²+4x和直线y₂=2x．我们约定：当x任取一值时，若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．下列判断：①当x＞2时，M=y₂；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的说法有②③．（请填写正确说法的番号）

Answer 1

分析 若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当0＜x＜2时，y₁＞y₂；当x＜0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；即可求得答案．

解答 解：∵当y₁=y₂时，即-x²+4x=2x时，
解得：x=0或x=2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当0＜x＜2时，y₁＞y₂；当x＜0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；
∴①错误；

∵抛物线y₁=-x²+4x，直线y₂=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正确；

∵抛物线y₁=-x²+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，
∴③正确；

∵如图：当0＜x＜2时，y₁＞y₂；
当M=2，2x=2，x=1；
x＞2时，y₂＞y₁；
当M=2，-x²+4x=2，x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$（舍去），
∴使得M=2的x值是1或2+$\sqrt{2}$，
∴④错误；
∴正确的有②③两个．
故答案为②③．

点评 本题考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．