Question

15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．
（1）求AD的长；
（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论；
（2）解直角三角形求出各边的长，于是得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，
∴EB=AE=CE=12．
∵DE⊥AC，DE=5，
∴在Rt△ADE中，
由勾股定理得AD=$\sqrt{A{E^2}+D{E^2}}$=$\sqrt{{{12}^2}+{5^2}}$=13；

（2）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=AE+CE=24，
∴BC=12，AB=AC•cos30°=12$\sqrt{3}$，
∵DE⊥AC，AE=CE，
∴AD=DC=13，
∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=38+12$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关定理和解直角三角形求出四边形每条边的长．