Question

20．如图：一幅三角板如图放置，等腰直角△ABC固定不动，另一块△DEF的直角顶点放在等腰直角△ABC的斜边AB中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AC、BC上．
（1）在旋转过程中线段BH和CG大小有何关系？证明你的结论．
（2）若AC=BC=4cm，在旋转过程中四边形GCHD的面积是否不变？若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围．

Answer 1

分析 （1）BG=CH，连接BD，利用等腰直角三角形的性质可以证明△BDH≌△CDG，然后利用全等三角形的性质可以得到BH=CG；
（2）根据（1）的结论容易得到S_{四边形GCHD}=S_△BDC，而S_△BDC可以根据已知条件直接求出，所以四边形GCHD的面积就可以求出了．

解答 解：连接CD．

（1）∵△ABC为等腰直角三角形，且D是AB的中点，
∴∠B=∠ACD=45°，BD=CD，∠BDH+∠CDH=90°，
又因为∠EDC+∠CDH=90°，
∴∠BDH=∠CDG．
在△BDH和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠GCD}\\{DB=DC}\\{∠BDH=∠CDG}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CDG．
∴BH=CG．
（2）在旋转过程中四边形GCHD的面积不变，
∵△BDH≌△CDG，
∴四边形GCHD的面积=△CDB的面积．
∵D是AB的中点，
∴△CBD的面积=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×4×\frac{1}{2}$=4cm²．
∴S_{四边形GCHD}=4cm²．

点评 此题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，还有图形变换，证得△BDH≌△CDG是解题的关键．