Question

15．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，设P（m，-$\frac{1}{2}$m+2）；则Q（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），进而表示出PQ的长度，利用二次函数的最值求出即可．

解答 解：（1）抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（-1，0），C（0，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）令y=0，则-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设P（m，-$\frac{1}{2}$m+2）；则Q（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
则PQ=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2） ²+2，
此时PQ的最大值为2．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式和二次函数的最值问题，求得解析式是解题关键．