Question

9．我们知道，求圆环的面积可以转化为求大圆与小圆面积的差．
（1）如图①，直线l与小圆相切于点P，与大圆相交于点A，B．
①求证：AP=BP；
②若AB=10，求圆环的面积；
（2）如图②，直线l与大圆、小圆分别交于点A，B，C，D，若AB=10，AC=2，则圆环的面积为16π．

Answer 1

分析 （1）①连结OP，如图①，先根据切线的性质得OP⊥AB，然后根据垂径定理即可得到AP=BP；
②连结OA，如图①，AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=5，根据勾股定理得到OA²-OP²=AP²=25，然后根据圆的面积公式，利用圆环的面积=S_大圆-S_小圆进行计算；
（2）作OE⊥CD于E，如图②，根据垂径定理得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=5，则CE=AE-AC=3，再利用勾股定理得OA²=OE²+AE²，OC²=OE²+CE²，然后根据圆的面积公式，利用圆环的面积=S_大圆-S_小圆进行计算．

解答 （1）①证明：连结OP，如图①，
∵直线l与小圆相切于点P，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP；
②解：连结OA，如图①，AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=5，
在Rt△OPA中，OA²-OP²=AP²=25，
∴圆环的面积=S_大圆-S_小圆=π•OA²-π•OP²=π（OA²-OP²）=25π；
（2）解：作OE⊥CD于E，如图②，
∵AB=10，AC=2，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CE=AE-AC=5-2=3，
∵OA²=OE²+AE²，OC²=OE²+CE²，
∴圆环的面积=S_大圆-S_小圆=π•OA²-π•OC²=π（AE²-CE²）=（25-9）π=16π．
故答案为16π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．