Question

20．某粮油超市平时每天都将一定数量的某些品种的粮食进行包装以便出售，已知每天包装大黄米的质量是包装江米质量$\frac{5}{4}$倍，且每天包装大黄米和江米的质量之和为45千克．
（1）求平时每天包装大黄米和江米的质量各是多少千克？
（2）为迎接今年6月20日的“端午节”，该超市决定在前20天增加每天包装大黄米和江米的质量，二者的包装质量与天数的变化情况如图所示，节日后又恢复到原来每天的包装质量．分别求出在这20天内每天包装大黄米和江米的质量随天数变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）假设该超市每天都会将当天包装后的大黄米和江米全部售出，已知大黄米成本价为每千克7.9元，江米成本每千克9.5元，二者包装费用平均每千克均为0.5元，大黄米售价为每千克10元，江米售价为每千克12元，那么在这20天中有哪几天销售大黄米和江米的利润之和大于120元？[总利润=售价额-成本-包装费用]．

Answer 1

分析 （1）分别设大黄米和江米的质量，根据题意列方程组解出即可；
（2）分0≤x≤15和15＜x≤20两种情况讨论：根据图中的信息利用待定系数法求直线的解析式，即可得到这20天内每天包装大黄米和江米的质量随天数变化的函数关系式；
（3）设销售大黄米和江米的利润之和为W元，设分0≤x≤15和15＜x≤20两种情况讨论：由题意得出W与x的有关系式，列不等式解出求x的取值范围，并取整数解．

解答 解：（1）设平时每天包装大黄米的质量是x千克，每天包装江米的质量是y千克，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}y}\\{x+y=45}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=25}\\{y=20}\end{array}\right.$，
答：平时每天包装大黄米的质量是25千克，每天包装江米的质量是20千克；
（2）设每天包装大黄米的质量与天数的关系式为：y₁=kx+b₁，每天包装江米的质量与天数的关系式为：y₂=ax+b₂，
①当0≤x≤15时，由图象知：y₁=kx+b₁过（15，40）、（0，25），
列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{15k+{b}_{1}=40}\\{{b}_{1}=25}\end{array}\right.$     解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{{b}_{1}=25}\end{array}\right.$，
∴y₁=x+25，
由图象知：y₂=ax+b₂过（15，38）、（0，20），
列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{15a+{b}_{2}=38}\\{{b}_{2}=20}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{6}{5}}\\{{b}_{2}=20}\end{array}\right.$，
∴y₂=$\frac{6}{5}$x+20，
②当15＜x≤20时，由由图象知：y₁=kx+b₁过（15，40）、（20，25），
列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{15k+{b}_{1}=40}\\{20k+{b}_{1}=25}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{{b}_{1}=85}\end{array}\right.$，
∴y₁=-3x+85，
由图象知：y₂=ax+b₂过（15，38）、（20，20），
列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{15a+{b}_{2}=38}\\{20a+{b}_{2}=20}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{18}{5}}\\{b=92}\end{array}\right.$，
∴y₂=-$\frac{18}{5}$x+92，
综上所述：每天包装大黄米的质量随天数变化的函数关系式：y₁=$\left\{\begin{array}{l}{x+25（0≤x≤15）}\\{-3x+85（15＜x≤20）}\end{array}\right.$；
每天包装江米的质量随天数变化的函数关系式：y₂=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{5}x+20（0≤x≤15）}\\{-\frac{18}{5}x+92（15＜x≤20）}\end{array}\right.$；
（3）设销售大黄米和江米的利润之和为W元，
当0≤x≤15时，W=（10-7.9-0.5）y₁+（12-9.5-0.5）y₂，
W=1.6y₁+2y₂=1.6（x+25）+2（1.2x+20）=4x+80，
4x+80＞120，
x＞10，
∵0≤x≤15，
∴10＜x≤15，
∵x是天数，应该取整数，
∴x=11、12、13、14、15，
当15＜x≤20时，W=1.6y₁+2y₂=1.6（-3x+85）+2（-$\frac{18}{5}$x+92）=-12x+320，
-12x+320＞120，
x＜$\frac{50}{3}$，
∴15＜x＜$\frac{50}{3}$，
∴x=16，
综上所述：在第11、12、13、14、15、16天中销售大黄米和江米的利润之和大于120元．

点评 本题是一次函数的应用，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，这是一个分段函数，虽然难度不大，但比较麻烦，计算量大，容易出错；因此计算和观察图形找点时要细心；这是一个实际应用题，要注意x的值要符合实际意义．