Question

11．如图，抛物线y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c过A（-1，0），B（0，2）两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）M为抛物线对称轴与x轴的交点，N为x轴上对称轴上任意一点，若tan∠ANM=$\frac{1}{2}$，求M到AN的距离．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出抛物线对称轴，从而确定出MN，用tan∠ANM=$\frac{1}{2}$，最后用面积公式求解即可；
（3）设出点P的坐标，表示出AB，AP，BP，分三种情况求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c过A（-1，0），B（0，2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{4}{3}+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（2）由（1）有，抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
∴抛物线对称轴为x=1，
∴M（1，0），
∴AM=2，
∵tan∠ANM=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{1}{2}$，
∴MN=4，
∵N为x轴上对称轴上任意一点，
∴N（1，4），
∴AN=$\sqrt{（1+1）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设M到AN的距离为h，
在Rt△AMN中，$\frac{1}{2}$AM×MN=$\frac{1}{2}$AN×h，
∴h=$\frac{AM×MN}{AN}$=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴M到AN的距离$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（3）存在，
理由：设点P（1，m），
∵A（-1，0），B（0，2），
∴AB=$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，BP=$\sqrt{1+（m-2）^{2}}$，
∵△PAB为等腰三角形，
∴①当AB=AP时，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴m=±1，
∴P（1，1）或P（1，-1），
②当AB=BP时，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{1+（m-2）^{2}}$，
∴m=4或m=0，
∴P（1，4）或P（1，0）；
③当AP=BP时，
∴$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{1+（m-2）^{2}}$，
∴m=$\frac{1}{4}$，
∴P（1，$\frac{1}{4}$）；
即：满足条件的点P的坐标为P（1，1）或P（1，-1）或P（1，4）或P（1，0）或P（1，$\frac{1}{4}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线对称轴的确定，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出抛物线解析式，分类讨论是解本题的难点．