Question

4．已知a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，求（$\frac{ab^2+b^2+1}{a}$）²⁰¹²的值．

Answer 1

分析 将两等式左右两边相减，左边整理后分解因式，根据1-ab²≠0的题设条件求得b²=-a，代入所求的分式化简，再将a²=-2a+1代入，整理后即可求出值．

解答 解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0，
化简之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0，
若a-b²+2=0，即b²=a+2，则1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=0，与题设矛盾，所以a-b²+2≠0，
因此a+b²=0，即b²=-a，
又因为a²+2a-1=0，即a²=-2a+1，
则（$\frac{ab^2+b^2+1}{a}$）²⁰¹²
=$（\frac{-{a}^{2}-a-2a+1}{a}）^{2012}$
=$（\frac{2a-1-a-2a+1}{a}）^{2012}$
=（-1）²⁰¹²
=1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．