Question

15．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠AEB；③S_梯形ABCD=AD•CE；④AD=2AE，四个结论中成立的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 过E作EF⊥AD于F，由AAS证明△AEF≌△AEB，得出BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；证出EC=EF=BE，由HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，得出DC=DF，∠FED=∠CED，由平角定义得出∠AED=90°，①正确；
由直角三角形的两个锐角互余得出∠ADE=∠AEB，②正确；
证出AD=AF+FD=AB+DC，得出S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）BC=AD•CE，③正确；
只有∠ADE=30°时，AD=2AE，④不正确；即可得出结论．

解答 解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，
∴∠C=∠AFE=∠DFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAE，
在△AEF和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠B}&{\;}\\{∠FAE=∠BAE}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEB（AAS），
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
∵点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC=DF，∠FED=∠CED，
∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$×180°=90°，①正确；
∵EF⊥AD，
∴∠AEF=∠ADE，
∴∠ADE=∠AEB，②正确；
∵AD=AF+FD=AB+DC，S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）BC=AD•CE，③正确；
只有∠ADE=30°时，AD=2AE，
∴④不正确；
故选：B．

点评 本题考查了梯形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．