题目内容
10．如图1，等边△ABC边长10 cm，D是AC上一点，DC=4 cm，点M以2 cm/秒的速度在线段BC上由C向B运动，点N在线段BA上由B向A运动，M、N同时出发．
（1）若点N与点M速度相等．
①当运动时间t为何值时，MN∥AC？
②当运动时间t为何值时，△BMN是直角三角形？
（2）若点N与点M运动速度不相等，M以点C为起点，顺时针沿△ABC的边经过B运动至A，N以点B为起点，顺时针沿△ABC的边经过A运动至C，问点N的速度为多少时，△BMN和△CDM的构成全等？
分析 （1）①由条件可得BN=BM，再用t表示出线段的长度，代入可求得t的值；
②设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；
（2）①如图1中，当点M在BC上，点N在AB上时，如果BM=CM，BN=CD，因为∠B=∠C=60°，则△DCM≌△NBM，求出点M的运动时间即可解决问题．
②如图2中，当点M在线段AB上，点N在线段AC上时，如果点N与点D重合，BM=CD时，则△DCM≌△MBN，求出点M的运动时间即可解决问题．
解答 解：（1）①∵MN∥AC且△ABC为等边三角形，
∴BN=BM，
∵BN=2t，BM=10-2t，
∴2t=10-2t，
解得t=2.5，
故运动时间t为2.5时，MN∥AC；
②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当∠NMB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，
∴2t=2×（10-2t）
∴t=$\frac{10}{3}$（秒）；
Ⅱ．当∠BNM=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BM=2BN，
∴10-2t=2×2t
∴t=$\frac{5}{3}$（秒）；
∴当t=$\frac{10}{3}$秒或t=$\frac{5}{3}$秒时，△BMN是直角三角形；
（2）①如图1中，当点M在BC上，点N在AB上时，如果BM=CM，BN=CD，因为∠B=∠C=60°，
∴△DCM≌△NBM，
∴BM=CM=5，BN=CD=4，
∴点M的运动时间t=$\frac{5}{2}$，
∴点N的运动速度=$\frac{4}{\frac{5}{2}}$=$\frac{8}{5}$cm/秒．
②如图2中，
当点M在线段AB上，点N在线段AC上时，如果点N与点D重合，BM=CD时，
∴△DCM≌△MBN，
∴BM=CD=4，AN=6，
∴点M的运动时间t=$\frac{14}{2}$=7秒，
∴点N的运动速度=$\frac{16}{7}$cm/秒．
综上所述，点N的速度为$\frac{8}{5}$cm/秒或$\frac{16}{7}$cm/秒时，△BMN和△CDM的构成全等
点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过O点作EF⊥BD，交AD于E，交BC于F，那么，四边形EBFD是菱形吗？为什么？
如图，在半圆O中，AB为直径，点P是圆上一点，连结AP，过O作OQ∥AP与半圆交于点Q，设△OQB的面积为S1，△APQ的面积为S2，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{6}$，则tan∠PQA的值为（ ）| A． | $\frac{5}{6}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |
用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体从正面看到的图形是（ ）
如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠AEB；③S梯形ABCD=AD•CE；④AD=2AE，四个结论中成立的是（ ）
平面直角坐标系中，将抛物线y=ax2经平移后与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若$\frac{{{S_{△AOC}}}}{{{S_{△BOC}}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，则称平移后的抛物线所在的位置为抛物线y=ax2在该平面直角坐标系中的一个“黄金位”．如图所示的抛物线为抛物线y=ax2的一个“黄金位”，且AB=2，将图中的抛物线向右平移$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$个单位长度又可得到抛物线y=ax2的另一个“黄金位”．