Question

16．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）设D为x轴上的任意一点（A点除外），当△DCB与△ACB相似时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点P （4，0 ），Q为直线l上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，y=0，即可解决问题、
（2）由△CBD∽△ABC，得$\frac{CB}{AB}$=$\frac{DB}{CB}$求出DB，即可解决问题．
（3）法一：如图2，过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了，由题意可知直线l与⊙G相切于点Q，求出点Q坐标即可．
法二，求出点Q₁坐标，即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，得x=-3或1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为A（-3，0）、B（1，0）；
令x=0，得y=3，
∴点C（0，3）．
（2）如图，在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，BO=1，OC=3，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵D为x轴上的任意一点（A点除外），△DCB与△ACB相似时
∴只有△CBD∽△ABC，
∴$\frac{CB}{AB}$=$\frac{DB}{CB}$，
∴DB=$\frac{C{B}^{2}}{AB}$=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
故点D（-$\frac{3}{2}$，0），
（3）法一：如图2，过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了．
由题意可知直线l与⊙G相切于点Q，连结GQ，那么GQ⊥l．作QM⊥x轴于M，
在Rt△PGQ中，GQ=2，GP=5，所以PQ=$\sqrt{21}$．
则sin∠QGP=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，cos$∠QGP=\frac{2}{5}$，
∵sin∠QGP=$\frac{QM}{QG}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
∴QM=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$，
∵cos∠QGP=$\frac{GM}{QG}$=$\frac{2}{5}$，
∴GM=$\frac{4}{5}$，
∴OM=$\frac{1}{5}$，
∴点Q的坐标为（$-\frac{1}{5}$，$\frac{{2\sqrt{21}}}{5}$），
∴直线l为y=-$\frac{2\sqrt{21}}{21}$x+$\frac{8\sqrt{21}}{21}$，
根据对称性，直线l还可以是$y=\frac{{2\sqrt{21}}}{21}x-\frac{{8\sqrt{21}}}{21}$．
（3）法二：如图2，过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了．
由题意可知直线l与⊙G相切于点Q，连结GQ，那么GQ⊥l．
在Rt△PGQ中，GQ=2，GP=5，所以PQ=$\sqrt{21}$．
由tan∠QPA=$\frac{GQ}{PQ}$=$\frac{A{Q}_{1}}{AP}$，得AQ₁=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴Q₁（-3，$\frac{2\sqrt{21}}{3}$），
直线l为y=-$\frac{2\sqrt{21}}{21}$x+$\frac{8\sqrt{21}}{21}$，
根据对称性，直线l还可以是$y=\frac{{2\sqrt{21}}}{21}x-\frac{{8\sqrt{21}}}{21}$．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会添加常用辅助线，构造圆解决问题，学会正确画出图形利用三角函数解决，属于中考压轴题．