Question

10．已知a＞0，b＞0，且a+b=7，则代数式$\sqrt{{x^2}+{a^2}}+\sqrt{{{（11-x）}^2}+{b^2}}$的最小值为$\sqrt{170}$．

Answer 1

分析 由题意可知代数式的值即P（x，0）到A（0，a）和B（11，b）的距离之和，作出A关于x轴的对称点A′，显然当P为“x轴与线段A′B交点”时，PA+PB=A′B最短．

解答 解：如图所示：设A（0，a），B（11，b），P点坐标为P（x，0），
则PA=$\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}}$，PB=$\sqrt{（11-x）^{2}+{b}^{2}}$，
$\sqrt{{x^2}+{a^2}}+\sqrt{{{（11-x）}^2}+{b^2}}$的最小值就是PA+PB的最小值，
∵PA+PB的最小值为：$\sqrt{1{1}^{2}+（a+b）^{2}}$=$\sqrt{1{1}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{170}$，
∴代数式$\sqrt{{x^2}+{a^2}}+\sqrt{{{（11-x）}^2}+{b^2}}$的最小值为$\sqrt{170}$．
故答案为$\sqrt{170}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短是解题的关键．